A derékszögű háromszög átfogó kiszámítása – képletek, módszerek, példák

A derékszögű háromszög átfogója (szokásosan c) a derékszögű oldalpár (befogók: a, b) szemközti oldal. Az átfogó kiszámítására a legismertebb eszköz a Pitagorasz-tétel, de több más adatból (szög, terület, kerület, beírható vagy körülírható kör sugara stb.) is megkaphatjuk. Az alábbi útmutatóban összegyűjtöttem a leggyakoribb eseteket, rövid magyarázatokkal és mintaszámításokkal.

Alapfogalmak és jelölések

• a, b – a derékszöget közrefogó befogók
• c – az átfogó
• α, β – a hegyesszögek, szemköztük rendre a és b
• T – a háromszög területe
• K – a háromszög kerülete
• r – a beírható kör sugara (inradius)
• R – a körülírható kör sugara (circumradius)

1) Klasszikus eset: ismert mindkét befogó (Pitagorasz-tétel)

Képlet:

példa

Adott: a = 3, b = 4.
Számítás lépésről lépésre:

Eredmény: c = 5.

Tipp: ha a és b egész számok, érdemes ellenőrizni, nem alkotnak-e pitagoraszi számhármast (pl. 3-4-5, 5-12-13, 6-8-10), mert így a gyökvonás is fejben elvégezhető.

2) Ismert az egyik befogó és a terület

A derékszögű háromszög területe:

Majd Pitagorasszal:

példa

Adott: a = 6, T = 24.

Eredmény: c = 10.

3) Ismert egy befogó és egy hegyesszög

Szinusz definíciója derékszögű háromszögben:

Ugyanígy:

példa

Eredmény: c = 10.

Megjegyzés: ha a szög fokban adott, számológépen ellenőrizd, hogy DEG (fok) üzemmód legyen aktív, ne radián.

4) Ismert az átfogóval szomszédos befogó és az azzal érintkező szög

A koszinusz definíciója:

vagy

példa

Adott: b = 7, α = 40°.

Eredmény (két tizedesre): c ≈ 9,14.

5) Ismert az átfogóhoz tartozó körsugarak

Derékszögű háromszögben a körülírható kör sugara:

A beírható kör sugara és az oldalak kapcsolata:

mini-példa beírható körrel

Adott: a = 8, b = 6, r = 2.

6) Ismert a kerület és az egyik befogó

Kerület:

Területre pedig:

Ezek önmagukban nem elegendők c egyértelmű meghatározásához, de ha legalább két független adat van (K és pl. a és T vagy egy szög, vagy r), akkor megoldható. Gyakorlatban ilyenkor érdemes a 2–5. pont valamelyikébe „átfordítani” a feladatot.

7) Koordinátageometria: ha a csúcsok koordinátái ismertek

Tegyük fel, hogy a derékszög az

pontban van, a másik két csúcs

Az átfogó a BC szakasz hossza:

Gyakori hibák, amiket érdemes elkerülni

• Rosszul azonosított oldalak: csak a derékszöggel szemközti oldal az átfogó.
• Egységek keverése: cm és m összekeverése torz eredményt ad. Minden adatot ugyanabban a mértékegységben használj.
• Szögmód a számológépen: fok vs. radián – szögfüggvényeknél kritikus.
• Kerekítési fegyelem: ha a végeredményt 2 tizedesre kerekíted, a köztes lépésekben tarts meg több tizedest a pontosság érdekében.

Gyors összefoglaló – melyik képletet mikor?

Gyakorló feladatok (rövid megoldással)

Zárszó

Az átfogó meghatározása legtöbbször egy lépés a megfelelő képlettel. Ha több adatod is van, válaszd ki a helyzethez illő formulát a fenti „puskából”, és haladj következetesen, egységes mértékegységekkel. Ha szeretnéd, készítek hozzá egy kis, beágyazható kalkulátort is.

Kapcsolódó cikkeink:
– Háromszög terület kiszámítása – képletek, különleges esetek, tippek